注：本文作者是Gauntlet创始人Tarun Chitra、placeholder研讨员Alex Evans以及斯坦福电气工程博士Guillermo Angeris，原文标题为《Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)》
在本系列文章的榜首篇，咱们研讨了安稳函数做市商（CFMM）的买卖函数曲率是怎么影响买卖者行为的，咱们还提到了咱们将发布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》，其间会阐明价格安稳性与曲率的联系。回想一下，非正式地说，CFMM买卖函数的曲率描绘了CFMM在一笔小买卖后的报价肯定改变。当CFMM是首要商场时，一笔买卖对相同财物的次级商场的影响，取决于两个商场的曲率比率。这阐明晰一个观念，即商场之间的价格安稳性与商场的曲率密切相关。而一个天然的问题是：为什么理性的流动性供给者（LP）挑选将流动性放在首要商场或许次级商场？或许，他们是怎么比较这些商场的报答的？
在这篇文章中，咱们将着重从两个角度答复这些问题：
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证明LP在均值回归财物对的情况下能够取得最大的赢利；
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在买卖者掌握信息的情况下，衡量LP面对的逆向挑选;
第二种情况下的LP收益，相似于Albert Kyle、Lawrence Glosten以及Paul Milgrom（2020年诺贝尔纪念奖得主）的经典商场微观结构成果。咱们将证明，LP收益的这两个方面都与曲率密切相关。这些成果标明，CFMM的形状不只决议了首要商场的安稳性，而且还控制了LP的预期损益。
均值回归是最佳的
关于给定的价格改变，较低曲率的CFMM将给LP带来更大的丢失。一起，较低的曲率供给了较低的滑点，然后招引更多的买卖者和手续费收入。研讨无常丢失与费用之间的权衡，能够让LP优化其报答。而最优曲率将取决于商场的行为。在这里，咱们能够挑选两种模型：一种是对独立于商场机制的外部价格过程进行建模，另一种是直接对基础商场微观结构进行建模。
就前者而言，该过程的相关特征是相关性、波动性以及均值回归。关于均值回归财物，“收益率最优”曲率通常较低。CFMM流动性供给者从均值回归中获利，因为储藏金康复到了曾经的水平，而费用则是双向累积的。在强均值回归财物的情况下，无常丢失的危险较低，流动性供给者（LP）能够供给较低的曲率来招引买卖者。最闻名的例子就是Curve，其安稳币通常在1美元的价格邻近徜徉，套利者很快就会纠正偏离这些水平的情况。因此，Curve供给了一种超低曲率的CFMM，它比Uniswap等同等的高曲率池招引了更多的买卖爱好。只需安稳币继续回归至美元价值的平均值，Curve LP的表现将优于其它高曲率CFMM的LP。在咱们的论文中，咱们证明晰一个简略的成果，即关于均值回归财物，要让LP获益，协议需收取的费用取决于曲率：
关于正的常数C > 0。
许多协议具有随时刻改变的买卖函数。在下面，咱们看到了Yield协议（左）和Notional协议（右）的边际价格函数。
这两个协议旨在供给固定利率借款并有用利用CFMM的曲率来控制用户的鼓励。在时刻t，这些体系的用户有用地创建了在时刻t + T到期的固定利率，零息债券。用户创建债券时，他们以低于1债券/ 1 Dai的价格铸造债券。用户能够在CFMM商场上用Dai买卖债券，而Dai面对的滑点反映了提早换回的本钱。这相似于在传统的回购协议商场中提早换回债券。当咱们挨近时刻t + T时，CFMM曲率会降低，然后鼓励用户关闭其债券（例如，将其买卖为Dai）。到期时，该CFMM没有曲率，这意味着用户能够用1:1的比例兑换Dai。请留意，跟着咱们越来越挨近到期日，这些CFMM的规划会鼓励均值回归（例如，到达1：1）。以上咱们的成果标明，在规划这种机制时，还需求调整费用，以保证LP有利可图。
商场微观结构
描绘LP收益的另一种方法，是考虑LP、套利者和知情买卖者之间博弈的预期赢利。为了构建咱们的游戏，咱们首要从传统的商场微观结构文献中罗致创意。在这些文献中，比如 Kyle的连续拍卖和内情买卖（1985），考虑了做市商与噪音和知情买卖者之间的博弈。在这些模型中，假定每个参与者都有一个战略来供给他们乐意买卖的价格和数量。例如，知情买卖者或许知道某项财物的每股收益在上升，并活跃买入，直到新的市盈率与本来的相同。另一方面，做市商有一个战略来发生他们乐意在订单中报价的价格和数量，而噪音买卖者购买的是彻底随机的数量。在给定一组商场参与者战略的情况下，咱们试图找出是否存在商场均衡，假如存在，咱们是否能够核算它。
一般来说，因为核算复杂性和统计原因，在多人游戏中核算准确的均衡是适当困难的。可是，经过研讨一个简化的博弈，咱们能够取得满足的直觉来规划一个可估计实际均衡的数值模拟。这正是Kyle (1985) 和Glosten以及Milgrom (1984)考虑的只有三个参与者的博弈游戏。
在这些博弈中，通常经过对做市商实施零赢利条件（一种无套利的弱方式）来完成均衡。零赢利条件有用地代表了做市商的“收支平衡”点，而且是所收取的费用和知情买卖者的信息优势的函数。例如，假如知情买卖者的信息优势较弱，那他们的买卖看起来会像是“噪音”，而做市商则经过反复地跨越买/卖价差而赚钱，且价格看起来是弱均值回归的。另一方面，假如知情买卖员是一窍不通的，而且总是提早知道未来的价格改变，那么做市商需求更大的费用和更大的买卖差价以补偿不利于他们的买卖。在这种情况下，咱们说做市商受知情买卖者逆向挑选的影响。实际上，做市商经过降低商场流动性来应对逆向挑选的添加。Glosten（1994）指出，当你考虑那些在多个商场上报价的做市商时，订单簿的形状会影响流动性怎么因逆向挑选而改变。在下图中，咱们看到一个订单簿有两个不同的形状，一个近似凹形和一种凸形。Glosten指出，关于流动性大、买卖速度低的情况，凹形更好，而关于许多小订单和高买卖速度的情况，凸形更好。
而据伯克利大学的Jun Aoyogi在最近的研讨标明，经过考虑LP和知情买卖者之间的一个简略的单周期博弈，能够为Uniswap找到与Kyle（1985）相似的成果。他特别指出，只有在噪声买卖者与Uniswap进行买卖，而且费用能正确补偿噪声买卖者形成的波动，LP才或许赚钱。此外，他还阐明晰价格安稳的成果（相似于咱们在榜首篇文章中介绍的内容）。可是，这些成果在很大程度上取决于Uniswap安稳乘积公式的简略函数方式。此外，这些成果未包括补偿逆向挑选所需的费用的准确规模。关于其他CFMM，咱们能否以更一般的方式将费用和逆向挑选联系起来？
为此，咱们在套利者、知情买卖者和LP之间构建了一个不同的博弈。咱们首要将知情买卖者界说为在时刻t时，知道财物价格在时间t+1, p(t+1)时的概率???? > ½ 的参与者。
咱们将知情买卖者对p（t+1）的猜测写成p_inf（t）。咱们可想象成这是一个知情买卖者在抛出一枚硬币，硬币正面落地的概率为????，不和落地的概率为1-????。假如是正面的，买卖者会正确挑选下一个价格。这个有洞察力的参与者在时刻t与CFMM买卖，在时刻t+1时以概率????完成赢利。另一方面，假如知情买卖者输了，价格会康复到时刻t时的价值。示意图如下所示：
留意，当知情买卖者亏本时，价格从p（t）变为p_inf（t），再回到p（t）。在这种“往复”买卖序列中，流动性供给者取得的赢利是费用和CFMM曲率的函数。这意味着咱们能够检查流动性供给者的预期赢利，PNL(curvature, fees) = ???? * Loss(curvature, fees) + (1-????) * Profit(curvature, fees)。咱们运用此预期赢利条件查找当PNL(curvature, fees) > 0时的充分条件，并发现关于某些常数C> 0
这意味着，假如知情买卖者是一窍不通的（????=1）或费用为零，那么任何曲率都无法补偿LP的丢失。另一方面，假如知情买卖者基本上是一个噪音买卖者（????≈½），则曲率能够较低，以使LP获利。这一成果阐明，与CFMM规划范畴的知识不同，人们不只需求取得最佳费用来最大化LP报答，而且还需求调整曲率。咱们在实际情况中看到了许多这样的例子，例如Dodo和McDEX这样的保护性做市商加入了一个预言机，以呼应首要商场（例如Uniswap或Coinbase）的买卖来调整曲率。在Shell协议中，费用与曲率之间的联系是直接的，一旦安稳币储藏偏离目标权重，则经过动态费用函数将曲率引进买卖函数中。
在下图中，咱们看到了这些协议怎么根据买卖活动调整其买卖函数曲率的示意图。这有用经过添加了对知情买卖的反应曲率，来减少逆向挑选。现在，大多数曲率调整都是外生的，这需求一个外部预言机来触发曲线改变。
Dodo的协议根据中间价格预言机来调整曲率
此外，这也告知咱们，活跃且具有低曲率CFMM的商场（例如Curve）往往有较少的知情买卖。这符合这样一种直觉，即用一种安稳币兑换另一种安稳币的买卖者，对未来价格的有用信息较少。
未来的CFMM规划
这告知了咱们该怎么规划CFMM？首要，经过规划CFMM的买卖函数，可运用预言机纠正曲率来进行改善。做市商能够有一个动态更新的买卖函数，对买卖作出反应，以减少LP的无常丢失。更新规则能够是纯内生的（与运用预言机的规划不同）和简略的控制机制（相似于DeFi-PID控制器，请参阅咱们之前编撰的关于这一主题的文章）。相似的，CFMM曲率的梯度流（例如，相似于著名的Ricci流）可用于天然压平因为高滑点而买卖量较低的区域。不幸的是，无法经过剖析来规划此类CFMM。这需求经过模拟具有不同数量信息，以及与LP互动的战略的多个agent代理来规划这种方式的有用CFMM。此外，假如咱们看到在高频买卖中经常会发现的复杂性，那么咱们应期望动态LP战略将成为未来的标准。这些战略对曲率和逆向挑选的影响，也需求经过根据agent的模型进行建模。
咱们要感谢James Prestwich 和Ciamac Moallemi供给的宝贵意见和建议。
视野开拓
仓库保管员还收到另外一种形式的诱惑：偷窃或暂时“借用”存放的贵重物品，通过投机或其他行为来赚取利润，然后在这些物品被赎回前归还，这样可谓是人不知鬼不觉。这种偷窃行为被称为挪用（embezzlemet）。字典对“挪用”一词的解释是：“在受托保管货币或财产时，不诚信地侵吞该物品并将其用于谋私利。”-《银行的秘密》
