原文标题：《DeFi 科普 | 一文了解 DeFi 安稳函数做市商（CFMM）的曲率权衡（二）》（Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)）
撰文：Tarun Chitra、Alex Evans 与 Guillermo Angeris，分别为 Gauntlet 创始人、Placeholder 研讨员及斯坦福电气工程博士
在本系列文章的 第一篇，咱们研讨了安稳函数做市商（CFMM）的买卖函数曲率是怎么影响买卖者行为的，咱们还提到了咱们将发布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》，其中会阐明价格安稳性与曲率的关系。回想一下，非正式地说，CFMM 买卖函数的曲率描绘了 CFMM 在一笔小买卖后的报价肯定改变。当 CFMM 是首要商场时，一笔买卖对相同财物的次级商场的影响，取决于两个商场的曲率比率。这阐明了一个观点，即商场之间的价格安稳性与商场的曲率密切相关。而一个自然的问题是：为什么理性的流动性供给者（LP）挑选将流动性放在首要商场或许次级商场？或许，他们是怎么比较这些商场的报答的？
在这篇文章中，咱们将着重从两个角度回答这些问题：
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证明 LP 在均值回归财物对的状况下能够取得最大的赢利；
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在买卖者把握信息的状况下，衡量 LP 面对的逆向挑选；
第二种状况下的 LP 收益，相似于 Albert Kyle、Lawrence Glosten 以及 Paul Milgrom （2020 年诺贝尔留念奖得主）的经典商场微观结构结果。咱们将证明，LP 收益的这两个方面都与曲率密切相关。
均值回归是最佳的
关于给定的价格改变，较低曲率的 CFMM 将给 LP 带来更大的丢失。一起，较低的曲率供给了较低的滑点，然后招引更多的买卖者和手续费收入。研讨无常丢失与费用之间的权衡，能够让 LP 优化其报答。而最优曲率将取决于商场的行为。在这里，咱们能够挑选两种模型：一种是对独立于商场机制的外部价格过程进行建模，另一种是直接对根底商场微观结构进行建模。
就前者而言，该过程的相关特征是相关性、波动性以及均值回归。
关于均值回归财物，「收益率最优」曲率通常较低。CFMM 流动性供给者从均值回归中获利，由于储备金康复到了以前的水平，而费用则是双向累积的。在强均值回归财物的状况下，无常丢失的危险较低，流动性供给者（LP）能够供给较低的曲率来招引买卖者。最闻名的比如就是 Curve，其安稳币通常在 1 美元的价格附近徜徉，套利者很快就会纠正违背这些水平的状况。因此，Curve 供给了一种超低曲率的 CFMM，它比 Uniswap 等同等的高曲率池招引了更多的买卖兴趣。只要安稳币持续回归至美元价值的平均值，Curve LP 的表现将优于其它高曲率 CFMM 的 LP。在咱们的论文中，咱们证明了一个简略的结果，即关于均值回归财物，要让 LP 获益，协议需收取的费用取决于曲率：
关于正的常数 C > 0。
许多协议具有随时刻改变的买卖函数。鄙人面，咱们看到了 Yield 协议（左）和 Notional 协议（右）的边沿价格函数。
这两个协议旨在供给固定利率借款并有用利用 CFMM 的曲率来操控用户的激励。在时刻 t，这些系统的用户有用地创立了在时刻 t + T 到期的固定利率，零息债券。用户创立债券时，他们以低于 1 债券 / 1 Dai 的价格铸造债券。用户能够在 CFMM 商场上用 Dai 买卖债券，而 Dai 面对的滑点反映了提早换回的成本。
这相似于在传统的回购协议商场中提早换回债券。当咱们挨近时刻 t + T 时，CFMM 曲率会下降，然后激励用户封闭其债券（例如，将其买卖为 Dai）。到期时，该 CFMM 没有曲率，这意味着用户能够用 1:1 的份额兑换 Dai。请注意，随着咱们越来越挨近到期日，这些 CFMM 的规划会鼓励均值回归（例如，到达 1：1）。以上咱们的结果标明，在规划这种机制时，还需求调整费用，以确保 LP 有利可图。
商场微观结构
描绘 LP 收益的另一种方法，是考虑 LP、套利者和知情买卖者之间博弈的预期赢利。为了构建咱们的游戏，咱们首要从传统的商场微观结构文献中罗致创意。在这些文献中，比如 Kyle 的接连拍卖和内情买卖（1985），考虑了做市商与噪音和知情买卖者之间的博弈。
在这些模型中，假定每个参与者都有一个战略来供给他们愿意买卖的价格和数量。例如，知情买卖者或许知道某项财物的每股收益在上升，并积极买入，直到新的市盈率与本来的相同。另一方面，做市商有一个战略来产生他们愿意在订单中报价的价格和数量，而噪音买卖者购买的是完全随机的数量。在给定一组商场参与者战略的状况下，咱们企图找出是否存在商场均衡，假如存在，咱们是否能够核算它。
一般来说，由于核算复杂性和核算原因，在多人游戏中核算准确的均衡是适当困难的。可是，经过研讨一个简化的博弈，咱们能够取得足够的直觉来规划一个可估计现实均衡的数值模仿。这正是 Kyle (1985) 和 Glosten 以及 Milgrom (1984) 考虑的只有三个参与者的博弈游戏。
在这些博弈中，通常经过对做市商施行零赢利条件（一种无套利的弱方式）来完成均衡。零赢利条件有用地代表了做市商的「收支平衡」点，而且是所收取的费用和知情买卖者的信息优势的函数。
例如，假如知情买卖者的信息优势较弱，那他们的买卖看起来会像是「噪音」，而做市商则经过反复地跨越买 / 卖价差而赚钱，且价格看起来是弱均值回归的。另一方面，假如知情买卖员是一窍不通的，而且总是提早知道未来的价格改变，那么做市商需求更大的费用和更大的买卖差价以补偿不利于他们的买卖。
在这种状况下，咱们说做市商受知情买卖者逆向挑选的影响。实际上，做市商经过下降商场流动性来应对逆向挑选的添加。Glosten （1994）指出，当你考虑那些在多个商场上报价的做市商时，订单簿的形状会影响流动性怎么因逆向挑选而改变。鄙人图中，咱们看到一个订单簿有两个不同的形状，一个近似凹形和一种凸形。Glosten 指出，关于流动性大、买卖速度低的状况，凹形更好，而关于许多小订单和高买卖速度的状况，凸形更好。
而据伯克利大学的 Jun Aoyogi 在最近的 研讨标明，经过考虑 LP 和知情买卖者之间的一个简略的单周期博弈，能够为 Uniswap 找到与 Kyle （1985）相似的结果。
他特别指出，只有在噪声买卖者与 Uniswap 进行买卖，而且费用能正确补偿噪声买卖者形成的波动，LP 才或许赚钱。此外，他还阐明了价格安稳的结果（相似于咱们在第一篇文章中介绍的内容）。可是，这些结果在很大程度上取决于 Uniswap 安稳乘积公式的简略函数方式。此外，这些结果未包括补偿逆向挑选所需的费用的准确规模。关于其他 CFMM，咱们能否以更一般的方法将费用和逆向挑选联系起来？
为此，咱们在套利者、知情买卖者和 LP 之间构建了一个不同的博弈。咱们首要将知情买卖者界说为在时刻 t 时，知道财物价格在时刻 t+1, p(t+1) 时的概率???? > ½ 的参与者。
咱们将知情买卖者对 p （t+1）的预测写成 p_inf （t）。咱们可幻想成这是一个知情买卖者在抛出一枚硬币，硬币正面落地的概率为????，反面落地的概率为 1-????。假如是正面的，买卖者会正确挑选下一个价格。这个有洞察力的参与者在时刻 t 与 CFMM 买卖，在时刻 t+1 时以概率????完成赢利。另一方面，假如知情买卖者输了，价格会康复到时刻 t 时的价值。示意图如下所示：
注意，当知情买卖者亏本时，价格从 p （t） 变为 p_inf （t），再回到 p （t）。在这种「往复」买卖序列中，流动性供给者取得的赢利是费用和 CFMM 曲率的函数。这意味着咱们能够检查流动性供给者的预期赢利，PNL(curvature, fees) = ???? * Loss(curvature, fees) + (1-????) * Profit(curvature, fees)。咱们运用此预期赢利条件查找当 PNL(curvature, fees) > 0 时的充分条件，并发现关于某些常数 C> 0
这意味着，假如知情买卖者是一窍不通的（????=1）或费用为零，那么任何曲率都无法补偿 LP 的丢失。另一方面，假如知情买卖者基本上是一个噪音买卖者（????≈½），则曲率能够较低，以使 LP 获利。
这一结果阐明，与 CFMM 规划领域的常识不同，人们不只需求取得最佳费用来最大化 LP 报答，而且还需求调整曲率。咱们在现实状况中看到了许多这样的比如，例如 Dodo 和 McDEX 这样的保护性做市商加入了一个预言机，以呼应首要商场（例如 Uniswap 或 Coinbase）的买卖来调整曲率。在 Shell 协议中，费用与曲率之间的关系是直接的，一旦安稳币储备违背目标权重，则经过动态费用函数将曲率引入买卖函数中。
鄙人图中，咱们看到了这些协议怎么依据买卖活动调整其买卖函数曲率的示意图。这有用经过添加了对知情买卖的反响曲率，来减少逆向挑选。目前，大多数曲率调整都是外生的，这需求一个外部预言机来触发曲线改变。
DODO 的协议依据中心价格预言机来调整曲率
此外，这也告知咱们，活泼且具有低曲率 CFMM 的商场（例如 Curve）往往有较少的知情买卖。这契合这样一种直觉，即用一种安稳币兑换另一种安稳币的买卖者，对未来价格的有用信息较少。
未来的 CFMM 规划
这告知了咱们该怎么规划 CFMM？首要，经过规划 CFMM 的买卖函数，可运用预言机纠正曲率来进行改善。做市商能够有一个动态更新的买卖函数，对买卖作出反响，以减少 LP 的无常丢失。更新规则能够是纯内生的（与运用预言机的规划不同）和简略的操控机制（相似于 DeFi-PID 操控器，请参阅咱们之前编撰的关于这一主题的文章）。相似的，CFMM 曲率的梯度流（例如，相似于著名的 Ricci 流）可用于自然压平由于高滑点而买卖量较低的区域。
不幸的是，无法经过剖析来规划此类 CFMM。这需求经过模仿具有不同数量信息，以及与 LP 互动的战略的多个 agent 署理来规划这种方式的实用 CFMM。此外，假如咱们看到在高频买卖中经常会发现的复杂性，那么咱们应希望动态 LP 战略将成为未来的规范。这些战略对曲率和逆向挑选的影响，也需求经过根据 agent 的模型进行建模。
咱们要感谢 James Prestwich 和 Ciamac Moallemi 供给的宝贵意见和主张。
视野开拓
朱元璋平生读书无多，最喜欢的是《道德经》，尤其是关于“小国寡民”的那一段。在他的思想中，一个完美的帝国就应该是无贫无富、男耕女织的小农社会，“男力耕于外，女力织于内，遂至家给人足”，每个人都安于眼前，一生不出家乡，老死不相往来，如乡野之草，自生自灭，帝国将因此绵延百世，千秋万代。这种朴素的治国思想当然非他一人所有，从老子的《道德经》，到陶渊明的《桃花源记》，无一不与此前后呼应。-《浩荡两千年》
